常微分方程初值问题的数值解法的一些基本概念
# 一般 m 阶常微分方程
一般 阶常微分方程的形式为
如果方程 能写成
则它是 阶线性方程(其中 )
如果方程 能写成
则称方程为显式方程。
# 步长
如果初值问题在区间 上的离散解,引入点列 满足
其中 称为步长, 称为节点。亦有等步长情况:
# 线性多步法
如果确定序列 的一个计算方法是由 , 的线性关系所组成,即
则此方法称为 步的线性多步法,其中,设 ,且 两者不能全为 0。
可变形为
若 则称之为显式线性多步法,若 则称之为隐式线性多步法。
# 单步法
若函数 不显含 则称之为显式单步法,若函数 显含 则称之为隐式单步法。
# 阶
若显式单步法的某一种方法满足
的最大整数 称为该方法的阶。
# 相容
若
则称该方法与初值问题相容
若利用泰勒公式展开,则与初值问题相容的方法至少是一阶方法。
# 收敛
则称该方法收敛。
::: tips 在实际使用的方法中,应该是相容和收敛的 :::
# 整体截断误差
称为数值方法在 点的整体截断误差。
# 局部截断误差
称为方法在 点的局部截断误差。
# 主局部截断误差
如果方法是 阶方法,则局部截断误差可以写成
则称 为方法在 的主局部截断误差。